5.1
دستگاه معادلات خطی
یک دستگاه معادلات ترکیبی از چند معادله ترکیب شده است (دارای چند مجهول) که با هم و با یک روش محاسبه می شود. یک دستگاه معادلات را می توان به روش های مختلف حل کرد.
به دو روش مختلف برای حل معادله توجه کنید.

تصور کنید که دو معادله با دو متغییر مجهول  x وy  دارید. بدین صورت این دو معادله شامل یک دستگاه معادلات می شوند.

به یک مثال با دو معادله توجه کنید:
معادله ی 1:
y = x + 2
معادله ی 2: y = -2x + 8
دستگاه معادله را با آکولاد نشان می دهیم:

حالا می خواهیم این معادله را از طریق روش جبری حل کنیم.


راه حل ترسیمی

زمانی که نمودار خطی معادله y = x + 2 و  y = -2x + 8 رسم می کنیم به این صورت دیده می شود:


می توان دید که دو نمودارهندسی یکدیگر را در نقطه ی (4 ، 2) قطع می کنند.

بنابراین در دستگاه معادلات جواب   x = 2, y = 4است.


راه حل جبری
در این قسمت روش جبری را نشان خواهیم داد که نام دیگر آن روش جانشینی است و ما از همان مثال قبلی استفاده می کنیم:



ما می خواهیم یک ارزش عددی برای x و یک ارزش عددی برایy
 پیدا کنیم. پیشنهاد:y = y در ننتیجه میشود گفت که  x + 2 = -2x + 8
x + 2 = -2x + 8
3x = 6
x = 2
برای این که مقدار y
را پیدا کنیم، x را در یکی از معادلات با 2 جبران کرده و محاسبه می کنیم:
y = x + 2
y = 2 + 2
y = 4
بدین ترتیب می بینیم که جواب دستگاه معادلات مزبور است:


بعضی اوقات باید اول یکی از متغییرها x یا y را از دستگاه معادلات بیرون کشید.:

1. x را از معادله ی 2 بیرون می کشیم:

x + y = 1
x = 1 – y

2.  x را در معادله ی اول با (1 – y) جبران می کنیم.

2y – (1 – y) = 5
2y – 1 + y = 5
3y = 6
y = 2

3. y را با 2 در یکی از معادلات جبران می کنیم.

x + y = 1
x + 2 = 1
x = -1

بدین ترتیب می بینیم که جواب دستگاه معادلات مزبور به صورت زیر است: