3.4 Сумма членов арифметической прогрессии
Предположим, тебе нужно сложить все натуральные числа от 1 до 100: 1, 2, 3, 4, 5, ..., 99, 100.

Ты, конечно, сможешь это сделать, но если ты будешь складывать числа подряд, тебе понадобится слишком много времени. Такую задачу дал учитель математики классу, в котором учился Карл Фридрих Гаусс (Carl Friedrich Gauss) (1777-1855), будущий великий математик. Учитель надеялся передохнуть, пока дети будут упражняться в сложении, но Гаусс быстро решил эту задачу, придумав следующее:

Он записал числа следующим образом:

Потом он сложил числа, стоящие друг под другом. Их сумма равна 101.

1
+
2
+
3
+
... +
98
+
99
+
100
+
100
+
99
+
98
+
... +
3
+
2
+
1
101
+
101
+
101
+
... +
101
+
101
+
101

Сколько же раз повторяется число 101? Очевидно, ровно 100 раз. Но тогда, если умножить 101 на 100, получится удвоенная сумма чисел от 1 до 100, поскольку Гаусс взял для упрощения решения задачи две одинаковые последоветельности. Тогда он поделил полученное произведение на 2, чтобы получить окончательный ответ:

Сумма всех чисел от 1 до 100: 101 · (100 ∕ 2) = 101 50 = 5050

1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 = 101 · 50 = 5 050

Эту сумму можно записать в виде формулы:


f(n) =
n · (n + 1)
=
n2 + n
2
2

где n количество членов в арифметической прогрессии, которая начинается с единицы и возрастает на единицу. Когда ты будешь учиться в гимназии, ты больше узнаешь о формулах и их использовании.