3.1 Последовательности чисел
Числовой последовательностью называется ряд чисел, пронумерованных натуральными числами. Более формально можно сказать, что числам из последовательности ставится в соответствие ряд натуральных чисел. Очень часто последовательности подчиняются некоторому закону, по которому можно вычислить каждый новый её член. Однако, это совершенно необязательно. Например, курс акций компании на бирже изменяется каждый день и тоже образует последовательность. Однако, вычислить последующий член этой последовательности, курс акций завтра, очень заманчиво, но, к счастью или сожалению, невозможно. Основываясь на некоторой сумме знаний, можно попробовать предсказать, будет курс завтра расти или снижаться, и, быть может, даже сказать примерно на сколько. Возможно, экономисты могут оценить вероятность того или иного изменения в курсе акций завтра. Но, с точки зрения математики, вычисление следующего члена последовательности не с абсолютной достоверностью равносильно отсутствию закона. Тем не менее, мы можем пронумеровать дни в году, когда работает биржа. Следовательно, мы можем пронумеровать значения курса акции той или иной компании. А это означает, что курс акций тоже образует числовую последовательность. Мы же рассмотрим более простые примеры.

Дана последовательность чисел:
1, 3, 5, 7, 9, ...

Как ты думаешь, какие числа последуют после девятки?

Посмотрим повнимательнее на числа этой последовательности. Заметим, что числа равномерно возрастают, и последующий член больше предыдущего на 2.

1. Проверим разность между двумя первыми числами: 3 - 1 = 2
2. Проверим разность между двумя следующими числами:
    5 - 3 = 2
3. Далее: 7 - 5 = 2 и 9 - 7 = 2

Как ты заметил, каждое следующее число получается из предыдущего путём прибавления к нему числа 2, причём эта последовательность состоит из нечётных чисел.Последовательность: 1 3 5 7 9 ...

Закон: 3 - 1 = 2 5 - 3 = 2 7 - 5 = 2 9 - 7 = 2 ... 

Следующие два числа должны быть 11 и 13. Теперь последовательность выглядит так:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13

Так как разность между двумя следующими друг за другом членами последовательности является постоянным числом, то такая последовательность называется арифметической прогрессией.


Рассмотрим ещё один пример:

1, 2, 4, 7, 11, ...

Какова разность между соседними членами в этом случае?

Закон: 2 - 1 = 1 4 - 2 = 2 7 - 4 = 3 11 - 7 = 4 .... 

Ты видишь, что разность здесь не постоянна, а увеличивается с каждым новым членом. Значит, эту последовательность мы не можем назвать арифметической прогрессией.

Теперь ты знаешь разницу между последовательностью вообще и арифметической прогрессией.