5.1 Распределительный закон
В разделе 8.4 главы Арифметические действия и правила мы рассмотрели распределительный закон для чисел, а сейчас посмотрим, как он работает для алгебраических выражений. Распределительный закон соединяет вместе умножение со сложением или вычитанием. Распределительный закон используют как непосредственно для раскрытия скобок при умножении, так и при выделении общего множителя у слагаемых (вынесение за скобки).


Раскрытие скобок при умножении

Ты знаешь, что 3 9 = 27

Мы можем представить 9 в виде суммы двух чисел, например,  
(5 + 4).

Как ты думаешь, если мы умножим 3 на сумму (5 + 4), получим ли мы такой же ответ, как и при умножении 3 9?

Проиллюстрируем это картинкой:



Как видишь, мы получили такой же ответ, 27. Можешь попробовать разбить 9 на другие слагаемые и проверить, получишь ли ты такой же ответ.


Если мы заменим числа переменными, например, 3 заменим на a, 5 на b и 4 на c, то наше выражение будет выглядеть следующим образом:

a(b + c) = ab + ac



В твоем учебнике математики это объясняется, наверное, следующим образом:



x(y + z) = (x
y) + (x z) = xy + xz


Выделение общего множителя (вынесение за скобки)

Пример A

Пусть у нас есть два слагаемых, 15 и 12, и нам нужно выделить их общий множитель.

15 и 12 имеют всего один общий множитель, 3. Тогда, запишем слагаемые в виде произведений:

15 запишется как (5 3) и 12 запишется как (4 3):

15
+
12
(3 5)
+
(3 4)

Вынесем общий множитель 3 за скобки:


Пример B.

Рассмотрим алгебраический пример:

15t3 + 12t2u - 6tu2

Наибольший общий делитель (самый большой общий множитель) всех трех слагаемых 3t. Перепишем члены выражения в виде произведений и вынесем 3t за скобки.

(3t
5t2) + (3t 4tu) - (3t 2u2) = 3t(5t2 + 4tu - 2u2)