3.3 Trójkąt Pascala

Blaise Pascal (Błażej Pascal), francuski filozof i matematyk , żyjący w siedemnastym wieku, jest znany między innymi z tego, że zbudował pierwszy kalkulator, a także był autorem wielu książek z dziedziny matematyki.

Trójkąt Pascala otrzymał swoją nazwę od nazwiska Blaise Pascal chociaż okazało się, że konstrukcja tego trójkąta znana była dużo wcześniej. Pascal opisał jednak ten trójkąt w dziele Traité du triangle arithmétique "Traktat o trójkącie arytmetycznym" (1653), i od tego czasu zaczęto używać nazwy Trójkąt Pascala.

Co to jest trójkąt Pascala?

Najprościej można powiedzieć, że są to liczby ułożone według pewnego wzoru. Po zastosowaniu tego wzoru, otrzymane liczby tworzą formę trójkąta.

W górnym wierzchołku trójkąta znajduje się liczba 1, a każdy następny rząd zawiera  o jedną liczbę więcej niż rząd poprzedni. Ta dodatkowa liczba jest sumą liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią w rzędzie wyżej. Jeżeli liczba z niższego rzędu nie posiada dwóch „sąsiadów” powyżej (zarówno po lewej jak i po prawej stronie), to przepisuje się ją do następnego rzędu. W ten sposób każdy rząd jest rozpoczęty i zakończony cyfrą 1.










Do czego stosowany jest trójkąt Pascala?
Trójkąt Pascala jest nie tylko interesującym trójkątem złożonym z liczb, ma on również szerokie zastosowanie w nauce matematyki. Jedną z dziedzin zastosowania trójkąta Pascala jest dziedzina algebry.

Powiedzmy, że chcesz podnieść dwumian (a + b) do potęgi np.
1, 2, 3, 4, 5 ... .

Twoje obliczenia mogą wyglądać w następujący sposób:

(a + b)0 =
1
(a + b)1 =
1a
+
1b
(a + b)2 =
1a2
+
2ab
+
1b2
(a + b)3 =
1a3
+
3a2b
+
3ab2
+
1b3
(a + b)4 =
1a4
+
4a3b
+
6a2b2
+
4ab3
+
1b4


Jak z pewnością zauważyłeś, liczby zaznaczone na czerwono odpowiadają liczbom w trójkącie Pascala.