6.8 Действия со степенями
В этом разделе мы рассмотрим правила математических действий со степенями и способы их применения.

Число, записанное в виде степени числа это продукт, состоящий из двух факторов. Одним из факторов является число от 1 до 10, а второй фактор имеет вид степени с основанием 10. Подробнее об этом вы можете прочитать на странице 6.3



Умножение

Пример 1

Чтополучитсяесли

4 · 104 умножить на 2 · 103?

Для решения этой задачи мы можем использовать ассоциативный закон. В соответствии с ассоциативным законом не имеет значения, в каком порядке мы производим умножение (см. 8.3).

4 · 104 ·  2 · 103 = 4 · 2 · 104 · 103 = 8 · 107

Мы меняем порядок умножения чисел, чтобы сделать его проще для выполнения расчетов.


Пример 2

Что получится если 6 · 10-2 умножить на 7 · 105?

6 · 10-2  ·  7 · 105 = 6 · 7 · 10-2 · 105 = 42 · 103

Мы меняем порядок умножения чисел, чтобы сделать его проще для выполнения расчетов.





42 · 103 не соответствует требованию, что один из факторов должен находиться в интервале от 1 до 10, поэтому вычисления еще не закончены:

42 · 103 = 4,2 · 10 · 103 = 4,2 · 10 · 103 = 4,2 · 104

4,2 · 104 соответствует требованию, что один из факторов должен находиться в интервале от 1 до 10, а второй фактор имеет вид степени с основанием 10.





Деление

Пример 1

Что получится если 6 · 107 разделить на 2 · 104?

Мы снова разделяем числа между 1 и 10 и степень с основанием 10.

6 · 107

2 · 104
=
6

2
·
107

104
= 3 · 107-4 = 3 · 103


Пример 2

2 · 103

8 · 10-7
=
2

8
·
103

10-7
= 0,25 · 103-(-7) = 0,25 · 103+7 = 0,25 · 1010





0,25 · 1010 не соответствует требованию, что один из факторов должен находиться в интервале от 1 до 10, поэтому вычисления еще не закончены:

0,25 · 1010 = 2,5 · 0,1 · 1010 = 2,5 · 10-1· 1010 =
= 2,5 ·10-1 · 1010 = 2,5 · 109




Сложение и вычитание чисел возведенных в степень

При сложении и вычитании чисел возведенных в степень вышеуказанные законы НЕ применяются. Самый простой способ решения этих задач, это преобразовать все значения в обычные числа, прежде чем производить расчёты.

Если ответ должен быть дан в виде степени числа, результат преобразуется обратно после расчета.



Сложение

Пример

7 · 101 + 2,5 · 103 = 70 + 2 500 = 2 570 = 2,57 · 103 






Вычитание

Пример

8 · 104 - 6 · 103 = 80 000 - 6 000 = 74 000= 7,4 · 104