3.2 Теорема Пифагора

Братство пифагорейцев было основано в 530году  до н.э.  греческим  математиком  и философом  Пифагором  (580-495 до н.э.). Пифагорейцы, во главе с Пифагором, дали первое известное определение связи  между сторонами в прямоугольном  треугольнике. Если вы знаете длину двух сторон прямоугольного треугольника, можно вычислить длину третьей стороны. Это отношение  с тех пор называется теоремой Пифагора.

То, чего многие не знают, что в  действительности  Пифагор не был тем, кто  обнаружил эту связь. Она была известна задолго до его рождения, но он был первым, кто доказал эту связь.




 

В прямоугольном треугольнике, как следует из его названия, один из углов прямой, т. е. составляет 90°.Две стороны исходящие  из прямого угла называются  катетами. Сторона противоположная прямому углу, длинная сторона, называется гипотенузой.





Теорема Пифагора



Формула теоремы Пифагора выглядит следующим образом:

Соотношение можно проиллюстрировать рисунком ниже:

Попробуйте посчитать количество клеточек в квадратах, которые прилегают к  катетам, и сравните их  с числом клеточек  в квадрате, который прилегает к  гипотенузе

9 + 16 = 25
32+42 = 52

катет2 + катет2 = гипотенуза2



Обращение теоремы Пифагора

Египтяне строили треугольник, где все три стороны были известны, и можно было, таким образом, построит прямой  угол, поскольку  сумма квадратов катетов  равна квадрату гипотенузы. Таким образом, они использовали обращение теоремы Пифагора.

С помощью обращения теоремы Пифагора, мы можем определить, является ли треугольник прямоугольным. Если мы знаем, все три стороны треугольника и если сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то треугольник является прямоугольным.

Ниже приводится несколько примеров использования Теоремы Пифагора:





Пример 1

Какова длина гипотенузы в треугольнике на рисунке ниже?

В соответствии с теоремой Пифагора:

(катет1)2 + (катет2)2 = гипотенуза2

(катет1)2 = 32 = 9
(катет2)2 = 52 = 25

(катет1)2 + (катет2)2 = 9 + 25 = 34


гипотенуза2 = 9 + 25 = 34
гипотенуза = ≈ 5,8 см




Пример 2

Является ли треугольник на рисунке прямоугольным?



Треугольник может называться прямоугольным, если он соответствует следующим параметрам:

катет2 + катет2 = гипотенуза2
(катет1)2 = 82 = 64
(катет2)2 = 52 = 25

(катет1)2 + (катет2)2 = 64 + 25 = 89

гипотенуза2 = 9 2 = 81

Мы видим, что 81 ≠ 89.

Сумма квадратов катетов  не равна квадрату гипотенузы, так что треугольник не является прямоугольным.



Пример 3

Является ли треугольник на рисунке прямоугольным?



Треугольник может называться прямоугольным, если он соответствует следующим параметрам:

катет2 + катет2 = гипотенуза2
(катет1)2 = 62 = 36
(катет2)2 = 8 2 = 64

(катет1)2 + (катет2)2 = 36 + 64 = 100

гипотенуза2 = 102 = 100

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, так что треугольник является прямоугольным.