6.1 Od mnożenia do potęg

Podstawa potęgi jest liczbą dodatnią
Pomyśl, że możesz jakąś liczbę pomnożyć kilka razy, przez samą siebie.

Przykład: 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = ?

Dla ułatwienia tego zapisu, wymyślono inny, łatwiejszy sposób zapisywania takiego iloczynu, który nazwano potęgą. Potęga jest więc iloczynem takich samych czynników lub łatwiejszym sposobem zapisywania powtarzającego się mnożenia.

Iloczyn z powyższego przykładu można zapisać w następujący sposób:
3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243.

Potęgę 35 czytamy „trzy do potęgi piątej”, a to dlatego, że pięć razy pomnożyliśmy 3 przez samą siebie.

23 = 8 ponieważ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8. Tutaj dwójkę nazywamy podstawą potęgi, a trójkę wykładnikiem potęgi.

Popatrzmy na inny przykład: 7 · 7 · 7 · 7 = 74



Podstawa potęgi jest liczbą ujemną
Podstawami i wykładnikami potęg mogą być również liczby ujemne.
Poniżej podamy kilka przykładów potęg, których podstawami są liczby ujemne. Czy potrafisz je obliczyć?

(-3)2 = ?
(-5)4 = ?
(-2)3 = ?

Liczy się w ten sposób:
(-3)2 = (-3) ∙ (-3) = 9
(-5)4 = (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) = 25 ∙ 25 = 625
(-2)3 = (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) = -8


Na wielu kalkulatorach jest zaprogramowane obliczanie potęg.


Foto: Fredrik Enander



W
ykładnik potęgi jest liczbą dodatnią
Wykładnik potęgi, który jest całkowitą liczbą dodatnią, wyznacza, ile razy należy pomnożyć podstawę potęgi przez samą siebie.

Na przykład 24 znaczy, że podstawę 2 należy pomnożyc 4 razy przez samą siebie (2 · 2 · 2 · 2).





Wykładnik potęgi jest liczbą ujemną
Być może już wiesz, że 10-2 to jest to samo co 0,01? Pokazanie zależności między wykładnikiem potęgi równym -2 i liczbą 0,01 nie jest zbyt prostym zadaniem. Wytłumaczymy to jednak w następujący sposób:

0,01 to jest to samo co jedna setna. Liczbę tę możemy zapisać w postaci ułamka w następujący sposób:

0,01 =
1

100
=
1

10 · 10
=
1

102

Możemy więc wyciągnąć wniosek, że:

10-2 =
1

102




Możemy to również pokazać za pomocą praw potęgowania (więcej na ten temat znajdziesz na stronie 6.5 Prawa potęgowania). Prawo dotyczące dzielenia potęg o tych samych podstawach mówi, że:

ab

ac
= ab-c

Przykład

Wykonaj dzielenie
74

76
.

Stosując prawo dzielenia potęg o tych samych podstawach otrzymamy:

74

76
= 7-2

Zapisując potęgi za pomocą iloczynu otrzymamy:


74

76
=
7 · 7 · 7 · 7

7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7
=
1

7 · 7
=
1

72

Pokazaliśmy, że
7-2
=
1

72
.




W rzeczywistości zastosowaliśmy w powyższym przykładzie definicję potęgi o wykładniku ujemnym, która brzmi następująco:

Dla wszystkich liczb a ( z wyjątkiem a = 0) i dla wszystkich liczb całkowitych n, zachodzi równość:


a-n =
1

an