5.1 Cистема линейных уравнений
Системой уравнений называется совокупность из нескольких уравнений, имеющих общее решение. Система уравнений может содержать несколько переменных. Решая систему, мы получим численные значения этих переменных, которые обращают каждое уравнение системы в верное равенство.
Решением системы двух уравнений с двумя переменными является пара значений переменных, обращающая эти уравнения в верные равенства.

Систему уравнений можно решить разными способами. Рассмотрим два из них:

Предположим, что у нас есть два уравнения с двумя неизвестными х и у. Они составляют систему.


В качестве примера рассмотрим два уравнения:
Уравнение 1: y = x + 2
Уравнение 2: y = -2x + 8

Чтобы показать, что они составляют одну систему, объединим их фигурной скобкой слева:




Решим эту систему с помощью графического и алгебграического методов.




Графическое решение

Оба уравнения, (1) и (2), можно рассматривать как формулы, задающие функции у от х. Начертим графики этих двух линейных функций:
Каждая прямая является графической иллюстрацией соответствующего уравнения. Координаты (х, у) любой точки, принадлежащей данной прямой, являются решением этого уравнения. Мы видим, что прямые пересекаются в точке (2, 4). Так как эта точка принадлежит обеим прямым, ее координаты будут являться решением обоих уравнений. То есть, координаты этой точки и есть решение нашей системы уравнений.

Обрати внимание, что линейное уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечное множество решений, а система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем случае только одно решение.

Возможен, также, случай с нулевым множеством решений. Графически он будет представлен ситуацией, в которой прямые, иллюстрирующие уравнения, входящие в систему, параллельны. Если же прямые совпадают, то будет существовать бесконечное множество решений системы. Но в этом случае мы можем сказать, что система некорректно (неправильно) задана, так как в нее входят одинаковые уравнения.


Aлгебраическое решение
На том же самом примере рассмотрим решение алгебраическим методом, который называется методом подстановки или методом Гаусса:



Чтобы найти значение х, заменим у во втором уравнении на выражение x + 2, которое равно у в соответствии с первым уравнением. Другими словами, приравняем правые части уравнений.

x + 2 = -2x + 8
3x = 6
x = 2

Чтобы найти значение у, подставим 2 вместо х в одно из уравнений (любое):

y = x + 2
y = 2 + 2
y = 4

Таким образом, мы получили решение системы уравнений:




Рассмотрим ещё один пример:



Чтобы решить эту систему уравнений, поступим следующим образом:

1. Выразим х через у из уравнения (2):
x + y = 1
x = 1 - y

2. Подставим выражение для х из уравнения (2) в уравнение (1), т.е. вместо х запишем (1 - у) в уравнении 1. Таким образом мы избавились от х и получили линейное уравнение с одним неизвестным. Такое уравнение имеет одно решение:
2y (1 y) = 5
2y 1 + y = 5
3y = 6
y = 2

3. Теперь заменим значение у на 2 в одном из уравнений:
x + y = 1
x + 2 = 1
x = -1

4.Таким образом, мы получили решение системы уравнений: