6.1
از ضرب به توان

توان با پایه ی مثبت
تصور کنید که می خواهید یک رقم را بارها در خود ضرب کنید. طبیعتا مقدار زیادی کار نوشتنی باید انجام دهید!

مثال: ? = 3 3 3 3 3

ریاضی دانان برای راحتی کار، روشی را برای نوشتن این نوع محاسبه ها پیدا کرده اند که خیلی ساده تر است. آنها عبارتی را به نام توان برای این نوع محاسبه ها استفاده می کنند. توان به عبارتی حاصل ضرب تکراری یک رقم درخود به شکل ساده تری است.

یعنی مثال بالا را می توان به این صورت نوشت:
35 = 243 = 3 3 3 3 3

عبارت 35 را به این صورت می خوانیم ، سه به توان پنج و مفهوم آن این است که 3 را 5 مرتبه در خودش ضرب می کنیم.

عبارت 8 = 23 زیرا 8 = 2 2 2 می باشد. در این عبارت 2 پایه و 3 توان نام دارند.

یک مثال دیگر: 74 = 7 7 7 7


توان با پایه ی منفی
عدد های توان دار می توانند پایه و توان منفی داشته باشند. برای این که بتوانید این عبارت ها را حل کنید باید محاسبه با عددهای منفی را بلد باشید.

آیا می توانید عدد های توان دار زیر را حل کنید؟

(-3)2 = ?
(-2)3 = ?
(-5)4 = ?

به این صورت انجام دهید.

(-3)2 = (-3) (-3) = 9
(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 25 25 = 625
(-2)3 = (-2) (-2) (-2) = -8



بیشتر ماشین های حساب دکمه ای برای عددهای توان دار دارند.
3

Bild: Fredrik Enander




اگر نماد مثبت باشد
نماد در یک عبارت صحیح و مثبت نشان می دهد که عدد پایه چند بار باید در خودش ضرب شود.


برای مثال  24 نشان می دهد که پایه 2 می بایست 4 بار در خودش ضرب شود
(2 2 2 2).




اگر نماد منفی باشد  
شاید بدانی که   10-2 همان 0,01 است؟ ولی به سادگی نمی توان رابطه ی بین -2 0,01و   را دریافت.  می توان این طور توضیح داد :



0,01
را دریافت. می توان این طور توضیح داد :

 

0,01 =
1

100
=
1

10 10
=
1

102


که می توان به صورت زیر هم نوشت :


 

10-2 =
1

102





در این جا می خواهیم از قانون توان استفاده کنیم ( در صفحه ی 6.5 بخش قانون توان در تقسیم). قانون توان در تقسیم می گوید :

ab

ac
= ab-c

مثال

تقسیم کن
74

76
.

اگر قانون توان رااستفاده کنیم می شود:
 
 
74

76

= 7-2



بر اساس تعریف توان می توان نوشت:


 

74

76
=
7 7 7 7

7 7 7 7 7 7
=
1

7 7
=
1

72

.

7-2
=
1

72

نتیجه این می شود که






حال از مثال بالا می توانیم برای تعریف توان با نماد منفی استفاده کنیم :

 
در ازای هر عدد برای a (غیر از a = 0 )   و به ازای هر عدد صحیح برای n می توان
فرمول زیر را نوشت:

a-n =
1

an