4.1 Умножение
При умножении натуральных чисел, дробей и десятичных дробей мы сперва рассматривали умножение как повторяющееся сложение:



Положительное число Положительное число

3 · 2 =
2 + 2 + 2 =
(+2) + (+2) + (+2) =
(+2) и (+2) и (+2)

На числовой прямой это выглядит так:


Таким образом, результатом является 6.



Положительное число Отрицательное число

То же самое можно сделать и при умножении на отрицательное число:

3 · (-2) =
(-2) + (-2) + (-2) =
(-2) и (-2) и (-2)

На числовой прямой:



Результатом является -6.

Другой способ понять умножение на отрицательное число посмотреть, что происходит с произведением при изменении одного из множителей:

3 · 5 = 15
2 · 5 = 10
1 · 5 = 5
0 · 5 = 0
(-1) · 5 = -5
(-2) · 5 = -10
(-3) · 5 = -15
и т.д.


Отрицательное число Отрицательное число

Умножение отрицательного числа на отрицательное можно объяснить несколькими способами. Продолжим последовательность из предыдущего примера, но теперь уменьшая второй множитель (предпологается, что ты уже умеешь умножать положительное число на отрицательное):

(-3) · 5 = -15
(-3) · 4 = -12
(-3) · 3 = -9
(-3) · 2 = -6
(-3) · 1 = -3
(-3) · 0 = 0
(-3) · (-1) =
(-3) · (-2) =
(-3) · (-3) =
и т.д.


Умножение двух отрицательных чисел можно также объяснить с помощью противоположных чисел. Например:
Возмем противоположные числа 7 и -7, и умножим их на одно и то же число. Полученные произведения будут по-прежнему равноудалены от нуля:

2 · 7 = 14 и 2 · (-7) = -14

Произведения, 14 и -14, тоже являются противоположными числами. Приведем еще один пример, с числами 4 и -4, но теперь умножим их на отрицательное число:

(-2) · 4 = -8 и (-2) · (-4) = ?

Мы знаем, что произведения должны быть противоположными числами. Мы знаем, также, как умножать положительное число на отрицательное. Таким образом, ответом во втором примере должно быть 8, т.е.

(-2) · 4 = -8 и (-2) · (-4) = 8

Умножение двух отрицательных чисел нельзя изобразить на числовой прямой, но из приведенных выше примеров можно сделать некоторые выводы. Можешь ли ты ответить на эти вопросы?