6.1 От умножения к возведению в степень

Степени с положительным основанием
Предположим, что тебе требуется перемножить большое количество одинаковых чисел. Запись такой математической операции займёт у тебя много времени и места.

Пример: 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = ?

Такая операция многократного перемножения одинаковых чисел встречается очень часто. Математики любят краткость, поэтому они придумали специальное название такой операции и более простой способ записи такого умножения. Математическая операция многократного перемножения одинаковых чисел называется возведением в степень. Если воспользоваться обозначениями операции возведения в степень, то пример, записанный выше, можно представить в следующем виде:

3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35 = 243

Степень 35 читается, как три в пятой степени, т. к. мы умножили число 3 на само себя пять раз.

23 = 8, поскольку 2 · 2 · 2 = 8. Здесь два называется основанием степени, а три - показателем степени.

Рассмотрим ещё один пример: 7 · 7 · 7 · 7 = 74



Степени с отрицательным основанием
Степени также могут иметь отрицательные основания и показатели. Для того, чтобы производить операции с такими выражениями, ты должен уметь производить вычисления с отрицательными числами. Ниже записано несколько примеров с отрицательными основаниями. Сможешь ли ты их решить?

(-3)2 = ?
(-5)4 = ?
(-2)3 = ?

Делается это так:
(-3)2 = (-3) · (-3) = 9
(-5)4 = (-5) · (-5) · (-5) · (-5) = 25 · 25 = 625
(-2)3 = (-2) · (-2) · (-2) = -8



На многих микрокалькуляторах есть кнопки для вычисления степенных функций.

На рисунке изображён микрокалькулятор с функцией для вычисления степени.

Foto: Fredrik Enander



Если показатель степени положительное число

Положительный показатель степени указывает, сколько раз основание умножается на само себя.

Например, 24 означает, что основание 2 умножается  на само себя  4 раза (2 · 2 · 2 · 2).



Если показатель степени отрицательное  число
Возможно вы уже знаете что 10-2это то же самое что 0,01? Однако не так легко объяснить связь между показателем -2 и числом 0,01 в примере. Это можно объяснить следующим образом:

0,01 то же самое что одна сотая. Если записать это в  виде  дроби то мы получим:

0,01 =
1

100
=
1

10 · 10
=
1

102

Тогда мы можем сделать следующий вывод:

10-2 =
1

102




Мы также можем продемонстрировать это путем использования правил вычисления со степенями (см. подробнее на стр. 6.5). Правило деления чисел возведенных в степень гласит:


ab

ac
= ab-c

Пример

Разделите
74

76
.

Применив правило, мы получим:

74

76
= 7-2

Согласно определению числа возведенного в степень:

74

76
=
7 · 7 · 7 · 7

7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7
=
1

7 · 7
=
1

72

Это доказывает, что
7-2
=
1

72
.




Пример  выше приводит нас к следующему заключению для чисел с отрицательным показателем степени.

Для всех чисел a (за исключением  a = 0) и для всех целых чисел n верно равенство:

a-n =
1

an