6.1 من عملية الضرب إلى الأ ُسُس

الأساس الموجب
تخيّل بأنك ستضرب عددا ً ما بنفسه عدة مرات، أي أنك ستكرر كتابة العدد نفسه مرات عديدة،
و هذه في الحقيقة طريقة مُملة. مثال على ذلك:

3 3 3 3 3 = ؟

و لأن علماء الرياضيات يحاولون دائما ً تسهيل طرق الرياضيات لذا فقد أوجدوا طريقة سهلة لمثل هذه العمليات. و الصيغة البديلة هي الأ ُسس.

الأ ُس إذا ً هو ناتج لعملية ضرب عدد ٍ ما بنفسه عدة مرات، أو يُمكن أن يُقال أيضا ً بأنه طريقة سهلة لكتابة عدد مضروب في نفسه عدة مرات.

من الممكن كتابة المثال أعلاه بالشكل التالي :

3 3 3 3 53 = 3 = 243

يُقرأ الأ ُس 53: " ثلاثة مرفوعة إلى القوى 5 " لأن العدد 3 ضُرب في نفسه 5 مرات.

الصيغة الأ ُسية 32 = 8 لأن 2 2 2 = 8 يُطلق هنا على الرقم 2 الأساس و 3 الأ ُس.
 

مثال آخر : 7 7 7 7 = 47



الأساس السالب

هناك أيضا ً أ ُسس لأساسات سالبة. و لحل مثل هذه الأ ُسس يجب أن تكون قادرا ً على الحساب بالأعداد السالبة. و إليك أدناه بعض الأمثلة. هل تستطيع يا تُرى حلّها
؟

(-3)2 =؟
(-5)4 = ؟
(-2)3 = ؟

و الحل هو:

(-3)2 = (-3) (-3) = 9
(-5)4 = (-5)
(-5) (-5) (-5) = 25 25 = 625
(-2)3 = (-2)
(-2) (-2) = -8


يوجد في أغلب الحاسبات الصغيرة زر خاص للأُسس.

Foto: Fredrik Enander


 



إذا كان الأُس موجب
الأُس الذي يكون عدد كامل موجب يُعبّر عن عدد المرات التي يُضرب فيها الأساس بنفسه.

 على سبيل المثال تعني الصيغة الأُسية
42 أنّ الأساس 2 سيُضرب بنفسه 4 مرات
 (2 · 2 · 2 · 2).




إذا كان الأُس سالب
ربّما تعرف أنّ
10-2 هو نفس المقدار 0,01؟ ولكن توضيح العلاقة بين الأُس -2 والعدد 0,01 هو ليس بتلك السهولة. ولكن يمكن توضيحها بالشكل التالي: 

0,01
هو جزء مئوي. إذا ما كتبناه بشكل كسر اعتيادي يظهر بالشكل التالي:

1

210
=
1

10 · 10
=

1

100

= 0,01

بذلك يمكن أن نستنتج ما يلي:

2-10 =
1

210




يمكن ايضاحها ايضاً من خلال استعمال قواعد الأُسُس (انظر صفحة 6.5 قواعد الأُسُس)  قاعدة الأُسُس لعملية القسمة تقول أنّ:

ba

ca
= c-ba

مثال
اقسم
47

67
.

إذا ما استخدمنا قاعدة الأُسُس نحصل على:

47

67
= 2-7

وفقاً لتعريف الأُسُس:

47

67
=
7 · 7 · 7 · 7

7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7
=
1

7 · 7
=
1

27

وهذا يُعلل بالتالي
2-7
=
1

27
.




المثال أعلاه يقودنا الى صياغة تعريف للصيغة الأُسية لأساس سالب كالتالي:

 
لكل الاعداد a (ما عدا a = 0)  ولكل الاعداد الكاملة  n يشمل التالي:

n-a =
1

na