3.2 متوالية فيبوناسيس العددية
عاش ليوناردو فيبوناسيس في مدينة بيزا الإيطالية ما بين نهاية سنة 1100 م
و النصف الأول من سنة 1200 م. و يُعد من أكبر علماء الرياضيات في القرون الوسطى. سافر إلى بلدان حوض البحر المتوسط و اتصل بالعرب و اخذ عنهم الأرقام العربية و نظام المراتب
و نشرها في أوربا، ضمن كتابه "Liber Abaci".

و من ضمن ما اشتهر به هو متواليته المُسماة "متوالية فيبوناسيس العددية". استخدم  فيبوناسيس هذه المتوالية لحساب النمو الحاصل عند الأرانب لِتنتشر بعد ذلك. على الرغم من أنّ مُتوالية فيبوناسيس كان قد تم شرحها بـ 500 سنة قبل الميلاد من قِبَل عالم الرياضيات الهندي "بينكالا".

تتوالى الأعداد في هذه المتوالية حسب الترتيب بحيث أنّ كل عدد هو عبارة عن مجموع العددين اللذين سبقاه في الترتيب، و هي كالتالي:

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 …

و التالي هو توضيح لكيفية حساب هذه المتوالية:

المربعات في الشكل لها عدد فيبوناسيس كطول للضلع.

و إنّ هذا النموذج تراه في الطبيعة
-و تحديدا ً-عند الحلزون. أليس هذا أمرا ً مُذهلا !

اكتشفنا "متوالية فيبوناسيس" العددية حتى في زهرة عبّاد الشمس. فأعداد الترتيب الحلزوني التي باتجاه الشمس
و الأعداد التي عكس اتجاه الشمس في هذا التركيب تؤلف اثنان من أعداد متوالية فيبوناسيس مثلا ً 13 و 21.


Foto: Britt Ask Rydgård, Multimediabyrån

ما هو الشئ الذي يُقرر أنّ ما نعتقده جميلا ً؟ هل هي الصرعة ، أم النزعة أم التقاليد أم أشياء بالفطرة؟ هناك أشياء يُعتقد بأنها جميلة لأنها مُتناغمة و متوازنة. و ما نعتبره مُتناغم يعتمد على علاقة خاصة جدا ً و هو ما يظهر في الفن و الطبيعة. و تُدعى هذه بعلاقة الحل الوسط.

تُبين علاقة الحل الوسط التناسب، مثلا ً عن النسبة ما بين الجوانب في مستطيل ما. لاحظ العلم السويدي. و كما تعرف فإنّ للعَلم جانب طويل و جانب قصير. إذا أخذنا طول الجانب الطويل
و قسمناه على طول الجانب القصير لحصلنا على العدد 1,618. يُدعى هذا العدد بـ ( fi ) الذي يُكتب ( Φ )، و هذه النسبة بين مقدارين هي ما تُدعى بعلاقة الحل الوسط.

يمكن كتابة العلاقة بالصيغة التالية:  

 


... أو حوالي 8\5. علاقة الحل الوسط معروفة منذ زمن فيثاغورس و اليونانيون القدماء.

توضيح لبعض الكلمات

Element    العنصر
 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 ...

هذه هي "متوالية فيبوناسيس" العددية. يُدعى كل عدد في المتوالية بالعنصر.


 Förhållande   النسبة
النسبة ما بين عددين يُمكن أن تعني خارج القسمة أيضا ً.

مثال :
النسبة ما بين 15 و 5 تُكتب بالشكل التالي: 15 : 5

يُمكن الكتابة على نفس النمط بأنّ: النسبة ما بين عدد الأولاد إلى عدد البنات هي 15 : 5. أي أنّ "هناك 15 ولد مُقابل 5 بنات".


Mönster   النموذج
الترتيب المُنتظم أو المُطّرد لخطوط أو أشكال على سطح.

  Samband الرابطة
هي العلاقة التي تربط الأشياء ببعضها البعض.


 Talföljd   متوالية (متعاقبة) الأعداد
هي أعدادٌ مُتتالية. أحيانا ً و ليس دائما ً ممكن لقاعدة مُعينة أن تحدد العدد التالي في المتوالية.
و هناك نوعان من المتوالية: المتوالية العددية الحسابية و المتوالية الهندسية.

مثال: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، ...


Serie المُتوالية (المُتسلسلة)
 هي تتالي أو تسلسل رياضي للحدود المُضافة لبعضها. مثال على ذلك مجموع العناصر في متوالية عددية.

مثال: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ...