3.6 Rozszerzanie ułamków
Rozszerzając ułamek, można podobnie jak w przypadku skracania ułamków, przedstawić ułamek w różnych postaciach, nie zmieniając jego wartości. Rozszerzanie ułamków stosuje się najczęściej przy sprowadzaniu ich do wspólnego mianownika. Ułamki muszą mieć taki sam mianownik gdy chcemy wykonać na nich dodawanie lub odjmowanie, albo gdy chcemy porównać ułamki o różnych mianownikach.

Jedna trzecia
=
Dwie szóste
=

Trzy dziewiąte

=
=

=
=







Powyżej widzimy, że ułamek 1/3 ma taką samą wartość jak ułamek 2/6. To znaczy, że możemy rozszerzyć 1/3 za pomocą pewnej liczby i otrzymać 2/6. Przez jaką liczbę musimy pomnożyć licznik i mianownik aby otrzymać 2/6?

1 · ?

3 · ?
=
2

6

Dokładnie widzimy, że gdy pomnożymy licznik i mianownik przez 2 to otrzymamy 2/6.

1 · 2

3 · 2
=
2

6

Podany ułamek rozszerzyliśmy więc przez 2.


Gdy popatrzymy uważnie na wykonaną powyżej operację, to znajdziemy wytłumaczenie, dlaczego wartość ułamka nie uległa zmianie.

1 · 2

3 · 2
=
1

3
·
·
2

2
=
2

6

Ponieważ 2/2 = 1, otrzymaliśmy taki sam wynik jak przy pomnożeniu ułamka przez 1.Jak wiemy każda liczba pomnożona przez 1 nie zmienia swojej wartości.



Przykład 1

Rozszerz ułamek 1/7 przez 5.

1 · 5

7 · 5
=
5

35

Odpowiedź: 5/35



Przykład 2

Za pomocą jakiej liczby musimy rozszerzyć ułamek 3/8 aby otrzymać w mianowniku  liczbę 72?

3 · ?
8 · ?
=
?

72

Przez jaką liczbę musimy pomnożyć 8 aby otrzymać 72? Przez 9.

3 · 9
8 · 9
=
27

72

Odpowiedź: Ułamek musimy rozszerzyć przez 9.



Porównywanie ułamków

Aby porównać dwa ułamki, musimy je sprowadzić do wspólnego mianownika. Z dwóch ułamków o jednakowych mianownikach większy jest ten, który ma większy licznik.



Przykład

Który z ułamków jest większy, 5/6 czy 26/30?

Trudno jest odpowiedzieć na to pytanie, gdyż ułamki mają różne mianowniki. Musimy więc zacząć od rozszerzenia ułamka 5/6, aby otrzymać mianownik równy 30.

Rozszerzmy więc ułamek 5/6 przez 5.

5 · 5

6 · 5
=
25

30

Ułamek 5/6 zapisaliśmy w inny sposób, nie zmieniając jednak jego wartości.
Pozostaje nam tylko porównać liczniki:

26 jest większe niż 25.

Możemy więc wyciągnąć wniosek, że:

26

30

>
25

30
co oznacza, że

26

30

>
5

6
.