7.1 Różne systemy liczbowe
System liczbowy, którego używamy dzisiaj do obliczeń matematycznych, jest systemem pozycyjnym o podstawie 10. System ten nazywamy dziesiątkowym systemem liczbowym.

Liczby w systemie dziesiątkowym zapisujemy za pomocą10 cyfr:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.

O wartości danej cyfry decyduje jej miejsce w zapisanej liczbie i wartość ta wyznaczona jest za pomocą potęgi o podstawie 10.





Dla łatwiejszego zrozumienia zapiszemy daną liczbę w postaci rozwiniętej.

8 349 =
8 · 1 000
+
3 · 100
+
4 · 10
+
9 · 1
8 349 =
8 · 103
+
3 · 102
+
4 · 101
+
9 · 100





System dwójkowy

Być może słyszałeś już o systemie binarnym czyli dwójkowym? Często wyrażamy się niepoprawnie, że komputer zawiera jedynki i zera. A tak naprawdę mamy na myśli, że komputer wykonuje obliczenia za pomocą cyfr 1 i 0, czyli używa systemu dwójkowego. System dwójkowy jest również systemem pozycyjnym, lecz zamiast podstawy 10, ma podstawę 2.

Każda cyfra wchodząca w skład liczby wyrażonej w systemie dwójkowym odpowiada określonej potędze o podstawie 2.





 



Przykład 1

Jaką wartość ma liczba 1 101dwa zapisana w dziesiątkowym systemie liczbowym?

Jak w poprzednim przykładzie, zapiszemy tę liczbę w rozwiniętej postaci:


1 101dwa =
1 · 23
+
1 · 22
+
0 · 21
+
1 · 20
 
1 101dwa =
1 · 8
+
1 · 4
+
0 · 2
+
1 · 1
 
1 101dwa =
8
+
4
+
0
+
1
= 13dziesięć
1 101dwa= 13dziesięć              


Przykład 2


Jak zapiszemy liczbę 29dziesięć w systemie dwójkowym?


 
25
24
23
22
21
20
 
 
32
16
8
4
2
1
 
29dziesięć=
1 · 16
1 · 8
1 · 4
0 · 8
1 · 1
 
29dziesięć=  
1
1
1
0
1
= 11 101dwa

29dziesięć = 11 101dwa





System piątkowy

Dlaczego wybraliśmy akurat podstawę dziesięć w naszym systemie liczbowym? Może dlatego, że mamy dziesięć palców u rąk? Liczenie na palcach jest uważane za bardzo wygodną metodę liczenia ilości, na przykład posiadanych rzeczy. Pomyśl, gdyby ludzie posiadali tylko jedną rękę, a co za tym idzie tylko pięć palców. Może mielibyśmy wtedy system piątkowy.

Liczby w systemie piątkowym zapisujemy za pomocą pięciu cyfr: 0, 1, 2, 3 i 4. Każda cyfra w liczbie zapisanej w systemie piątkowym odpowiada określonej potędze o podstawie 5.






Przykład 1

 Jaką wartość ma liczba 2 341pięć zapisana w dziesiątkowym systemie liczbowym?  


2 341pięć =
2 · 53
+
3 · 52
+
4 · 51
+
1 · 50
 
2 341pięć =
2 · 125
+
3 · 25
+
4 · 5
+
1 · 1
 
2 341pięć =
250
+
75
+
20
+
1
= 346dziesięć
2 341pięć = 346dziesięć              


Przykład 2

Jak zapiszemy liczbę 4 573dziesięć w systemie piątkowym?

 
55
54
53
52
51
50
 
3 125
625
125
25
5
1
4 573dziesięć=
1 · 3 125
2 · 625
1 · 125
2 · 25
4 · 5
3 · 1
4 573dziesięć=
1
2
1
2
4
3
             

4 573dziesięć= 121 243pięć