Gymnasium
 
Svenska

4.1 Formler

När en procentuell förändring över tid ska studeras, är det ofta användbart att använda förändringsfaktorn.

Exempel: En tillverkare av etanolbilar räknar med att öka sin försäljning av bilar med 12 % per år. Förra året sålde de 9 000 bilar.

12 % ökning motsvarar förändringsfaktorn 1,12 (eftersom 100 % + 12 % = 112 % = 1,12).

Efter 1 år bör försäljningen vara
9 000 · 1,12 = 10 080 bilar

Efter 2 år bör försäljningen vara
9 000 · 1,12 · 1,12 = 9 000 · 1,122 ≈ 11 290 bilar

Efter 3 år bör försäljningen vara
9 000 · 1,12 · 1,12 · 1,12 = 9 000 · 1,123 ≈ 12 644 bilar

Efter 3 år bör försäljningen vara
9 000 · 1,12 · 1,12 · 1,12 · 1,12 = 9 000 · 1,124 ≈ 14 162 bilar


Här framträder ett mönster:

Efter 1 år bör antalet sålda bilar vara 9 000 · 1,121
Efter 2 år bör antalet sålda bilar vara 9 000 · 1,122
Efter 3 år bör antalet sålda bilar vara 9 000 · 1,123
Efter 4 år bör antalet sålda bilar vara 9 000 · 1,124
– – –
Efter x år bör antalet sålda bilar vara 9 000 · 1,12x

Detta kan skrivas som en funktionsformel: y = 9 000 · 1,12x , där y är antalet sålda bilar efter x år.

Eftersom den oberoende variabeln är en exponent så kallas denna typ av funktion för exponentialfunktion.

Allmänt kan en exponentialfunktion skrivas

C = startvärdet
a = förändringsfaktorn

Exponentialfunktioner används alltså i regel för att beskriva procentuella förändringar.

Formeln är användbar oavsett om det handlar om en procentuell ökning eller minskning.

Exempel: Ett forskarteam bevakar ett havsområde eftersom delfinerna av okänd anledning överger området. Från början finns det 850 delfiner i området och forskarna märker att antalet delfiner minskar med 10 % per månad.

En minskning med 10 % motsvarar förändringsfaktorn 0,9 (eftersom 100 % – 10 % = 90 % = 0,9)

Förändringen av antalet delfiner kan beskrivas med exponentialfunktionen
y = 850 · 0,9x , där y är antalet delfiner efter x månader.

Fundera på och diskutera med andra:

Kan a vara ett negativt tal i exponentialfunktionen y = C · ax ?

Matematik A © Stockholms stad