Åk 6–9
 
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3.4 Suma de una progresión aritmética
Si tuvieras que encontrar la suma de la siguiente progresión aritmética:1, 2, 3, 4, 5, …, 98, 99 y 100. ¿Cómo lo harías?
La forma de encontrar la suma de progresiones de este tipo la debemos a un joven llamado Carl Friedrich Gauss (Alemania, 1777-1855). Se cuenta que su maestro puso la tarea a la clase para tenerlos ocupados mientras él se ausentaba. El maestro se sintió sobrecogido cuando se le presentó el alumno con la respuesta exacta, pero no sólo la respuesta sino una forma muy fácil de hallarla.


Carl Friedrich solucionó el ejercicio escribiendo la sucesión de números en orden creciente del 1 al 100 y en la línea de abajo, la misma sucesión en orden decreciente del 100 al 1


Gauss vió que sumando el 1 con el 100, el 2 con el 99, el 3 con el 98, obtenía el mismo resultado, 101. Los sumandos eran iguales.

1
+
2
+
3
+
... +
98
+
99
+
100
+
100
+
99
+
98
+
... +
3
+
2
+
1
101
+
101
+
101
+
... +
101
+
101
+
101

Puesto que ha sumado los números del 1 al 100 dos veces, debió dividir la suma obtenida. Y llegó a establecer que la suma del 1 al 100 es igual a
101 · (100 ÷ 2) = 101 · 50 = 5 050
Suma de la sucesión 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = 101 · 50 = 5050


Esto se puede plantear mediante una fórmula:


f(n) =
n · (n + 1)
=
n2 + n
2
2

en la cual, n es el último término de la sucesión que comienza en 1 y la razón es, también, 1.
Cómo se llega a la fórmula, lo aprenderás en niveles superiores, en el instituto.