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3.2 Sucesión de Fibonacci
Leonardo de Pisa, también llamado Fibonacci, está considerado como uno de los más grandes matemáticos de la Edad Media. Nació en Pisa (Italia) y vivió entre 1170 y 1250. Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo. A los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci, "Libro del ábaco" o "Libro de los Cálculos". En este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración posicional en base 10. En sus páginas describe el cero, la numeración de posición, la descomposición en factores primos y los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo en Europa, y tuvo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo de su época.

Ha llegado a ser más famoso por la invención de la sucesión de Fibonacci, surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos. Esta serie o sucesión fue descrita ya en el siglo V d. C por el matemático hindú Pingala.


Este famoso problema da lugar a la "sucesión de Fibonacci":

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Si designamos los términos con la letra T.
Aquí puedes ver cómo se forma la serie:

T1= 1 1
T2= 1 1, 1
T3= 2 1 + 1 = 2 1, 1, 2
T4= 3 2 + 1 = 3 1, 1, 2, 3
T5= 5 3 + 2 = 5 1, 1, 2, 3, 5
T6= 8 5 + 3 = 8 1, 1, 2, 3, 5, 8
T7= 13 8 + 5 = 13 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
T8= 21 13 + 8 = 21 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21
... ... ...
Tn Tn= Tn-1+ Tn-2

Cada término a partir de los dos primeros, es la suma de los términos inmediatamente anteriores.

Por ejemplo:
T8= T7+ T6


T8= 13 + 8 = 21



La sucesión se puede aplicar a muestras con cuadrados, usando los números de la sucesión como lados del cuadrado. Los números de la serie de Fibonacci aparecen en los lugares más insospechados; por ejemplo en la concha de los caracoles. ¿Qué te parece?




En los girasoles, las semillas se ordenan en forma de espirales. Unas giran hacia la izquierda y otras hacia la derecha; si se cuentan las que hay en cada sentido, se puede comprobar que son números consecutivos de la serie de Fibonacci.

Foto: Britt Ask Rydgård, Multimediabyrån


¿Qué es lo que decide que algo sea bello? ¿Será la moda, la tradición o alguna cualidad natural por la cual sentimos lo que se llama "bello"? Se dice que consideramos como bello aquello que es armónico en su estructura o en sus colores equilibrados. Esto lo encontramos especialmente, en los fenómenos naturales y en el arte.

Esta armonía suele ser una serie de sucesiones geométricas que tienen como referencia la sucesión de Fibonacci. Este tema fue conocido desde la época de Pitágoras y los demás matemáticos griegos. Se le llama "sección áurea" y trata de las proporciones. Esta armonía y belleza la encontramos en la espiral de Fibonacci y en el rectángulo áureo o de proporciones áureas.

La bandera sueca es un ejemplo de rectángulo áureo, las proporciones de sus medidas hacen que el rectánculo sea áureo. Si se divide la medida del largo por el ancho, se obtiene como resultado el número 1,618...; es el número llamado Fi, número que representa la relación entre los dos lados de una forma de proporciones áureas.

Matemáticamente se dice que existe una relación constante entre el todo y las dos partes en que se divide un segmento,
una parte corta (A) y otra parte más larga (B).
La relación que hay entre A + B con B es la misma que hay entre B con A.



...una aproximación de 8/5.



Vocabulario


Término de una sucesión.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Esta es la suceción de Fibonacci, cada número es un término de la serie.


Relación - proporción - razón

Es el resultado de comparar dos cantidades,

  • mediante la adición (aritmética)
  • mediante la división (geométrica).

La razón geométrica entre 15 y 5 se escribe: 15:5. Un ejemplo práctico es el siguiente: La relación entre el número de chicos y chicas es de 15 a 5 (15:5); es decir, que por 15 chicos hay 5 chicas.
Otro ejemplo: El precio de un producto aumenta en relación a la cantidad de kilos que se compre de ese producto.



Muestra

Orden regular de figuras o líneas en el espacio.


Relación

Cómo unas cosas se relacionan con otras o dependen unas de otras.


Progresión

Sucesión numérica en la que un número fijo denominado razón interviene en la formación de cada término

  • por diferencia llamada aritmética,
    p. ej.:
    1, 3, 5, 7, 9, ...
  • por cociente llamada geométrica.


Serie
Se denomina serie a la suma de términos consecutivos de una progresión, y ésta puede ser finita o infinita
La serie de la progresión aterior sería:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ...