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6.1 De la multiplicación a la potencia
Como habrás podido comprobar, el realizar multiplicaciones no tiene mucha dificultad, pero, puedes imaginarte multiplicando una serie de factores iguales como por ejemplo 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7... Resolverlo no sería difícil pero sí que supondría mucho esfuerzo, tiempo y riesgo de equivocarse. Por eso, los matemáticos, buscaron el método más fácil y rápido para resolver ese problema e inventaron una nueva operación a la que llamamos potencia.

Potencias de base positiva
Una potencia viene a ser un producto de factores iguales. Por ejemplo:
A. 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243. Esto se escribe 35 y se lee "tres elevado a la quinta potencia".
El número 3 es la base, es decir, el factor que se repite.
El número 5 es el exponente e indica las veces que se multiplica la base por sí misma.

B. 2³ = 8 ya que 2 · 2 · 2 = 8.
En este ejemplo, la base es 2 que se repite como factor, el exponente es 3, esto quiere decir que el factor 2 se repite tres veces.

Otro ejemplo: 7 · 7 · 7 · 7 = 74


Potencias de base negativa
Una potencia puede estar formada por factores negativos. Para comprender estas potencias, debes saber la ley de los signos en la multiplicación de los números enteros (negativos).
Observa los ejemplos siguientes:

(-3)2 = ?
(-5)4 = ?
(-2)3 = ?

Si lo trabajas como una multiplicación de productos iguales, encontrarás la respuesta:
(-3)2 = (-3) · (-3) = 9
(-5)4 = (-5) · (-5) · (-5) · (-5) = 25 · 25 = 625
(-2)3 = (-2) · (-2) · (-2) = -8


Las potencias en la calculadora
Hay calculadoras que realizan funciones avanzadas en las que se puede conseguir el resultado de potencias muy elevadas. Estudia tu calculadora o la del ordenador y busca el botón o tecla de las potencias.

Foto: Fredrik Enander

Si el exponente es positivo
Si el exponente de una expresión exponencial es un número entero positivo, indica la cantidad de veces que la base debe multiplicarse por sí misma.

24 significa que la base 2 debe multiplicarse 4 veces
(2 · 2 · 2 · 2).



Si el exponente es negativo
Posiblemente conoces la relación que hay entre estas dos expresiones
10-2y 0,01, las dos representan el mismo valor. Aquí se te da una explicación del por qué.


0,01 es un centésimo y escrito en forma de fracción es el siguiente:
0,01 =
1

100
=
1

10 · 10
=
1

102

De tal manera que se puede establecer la siguiente relación de igualdad:


10-2 =
1

102


Esta relación se la puede mostrar usando una de las leyes de la potenciación (esto lo puedes encontrar en la página 6.5 de ese capítulo). En este caso la ley de la potenciación para la división:

ab

ac
= ab-c

Estudia el siguiente ejemplo:
Ejemplo

Halla el cociente:
74

76
.

Si usamos las leyes de la potenciación para la división tendremos:

74

76
= 7-2

Según la deficinición de una potencia tenemos:

74

76
=
7 · 7 · 7 · 7

7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7
=
1

7 · 7
=
1

72

Entonces una expresión con exponente negativo da la
siguiente igualdad:
7-2
=
1

72
.


El ejemplo arriba presentado nos permita dar la siguiente definición para un exponente negativo:

Para todo número a (Excepto cuando a = 0) y para todo número entero n se cumple:

a-n =
1

an