Åk 6–9
 
Svenska/Español

5.1 Linjära ekvationssystem
Ett ekvationssystem är en sammanslagning av flera ekvationer(innehållande flera obekanta). Ett ekvationssystem kan lösas på olika sätt. Vi ska här visa två av dem.

Tänk dig att du har två ekvationer med de obekanta variablerna x och y. Därmed ingår dessa två ekvationer i ett ekvationssystem.

Här är ett exempel med två ekvationer:
Ekvation 1: y = x + 2
Ekvation 2: y = -2x + 8

För att visa att de ingår i samma ekvationssystem brukar man skriva dem med en klammer:



Vi ska nu lösa dessa dels med grafisk och dels med algebraisk metod.


Grafisk lösning
När vi ritar graferna till de två räta linjerna y = x + 2 och y = -2x + 8 i ett koordinatsystem ser det ut så här:


Vi kan då konstatera att graferna skär varandra i punkten (2, 4)

Därför har ekvationssystemet lösningen x = 2, y = 4.



Algebraisk lösning
Vi kommer här att visa en algebraisk metod som kallas för ersättningsmetoden. Vi använder oss av samma exempel som ovan:



Vi söker alltså ett x- och y-värde som löser båda ekvationerna.
Förslag: y = y och då måste även x + 2 = -2x + 8
x + 2 = -2x + 8
3x = 6
x = 2

För att hitta y-värdet ersätter vi sedan x-värdet med 2 i någon av ekvationerna:
y = x + 2
y = 2 + 2
y = 4

Därmed ser vi att lösningen till ekvationssystemet är:




Ibland måste man först lösa ut x eller y i en av ekvationerna i ekvationssystemet:



1. Lös ut x i ekvation 2:
x + y = 1
x = 1 - y

2. Sedan ersätter vi x med x = 1 - y i ekvation 1.
2y - x = 5 (1)
2y – (1 – y) = 5
2y – 1 + y = 5
3y = 6
y = 2

3. Vi ersätter sedan y med 2 i någon av ekvationerna:
x + y = 1 (2)
x + 2 = 1
x = -1

4. Därmed ser vi att lösningen till ekvationssystemet är: