Åk 6–9
 
Svenska/English
3.2 Pythagoras sats

Brödraskapet Pythagoréerna bildades 530 f.Kr av den grekiske matematikern och filosofen Pythagoras (580-495 f Kr). Pythagoréerna, ledda av Pythagoras, konstruerade det första kända beviset för ett känt samband mellan sidorna i en rätvinklig triangel. Om man känner till två sidor i en rätvinklig triangel, så kan man beräkna den tredje sidan. Sambandet har sedan dess kallats för Pythagoras sats.


Vad många inte känner till är att det faktiskt inte var Pythagoras som upptäckte detta samband. Det var känt långt innan han levde, men han var dock den första som bevisade sambandet.




 

I en rätvinklig triangel är, precis som namnet avslöjar, en av vinklarna rät, d v s 90o. De två sidor som utgår från den räta vinkeln kallas för kateter. Sidan mittemot den räta vinkeln, den längsta sidan, kallas hypotenusa.





Pythagoras sats



Formeln för Pythagoras sats ser ut så här:

Om vi illustrerar sambandet kan det se ut så här:

Prova att räkna rutorna i kvadraterna som är ritade på kateterna och jämför med antalet rutor i kvadraten som är ritad på hypotenusan.

9 + 16 = 25
32+42 = 52
katet2 + katet2 = hypotenusa2




Omvändningen av Pythagoras sats

Egyptierna hade alltså en triangel där samtliga tre sidor var kända och kunde på så sätt skapa en rät vinkel eftersom summan av kvadraterna på kateterna var lika med kvadraten på hypotenusan. De använde en omvändning av Pythagoras sats.

Genom att använda omvändningen av Pythagoras sats kan vi ta reda på om en triangel är rätvinklig. Om vi känner samtliga tre sidor i en triangel så är den rätvinklig om summan av kvadraterna på kateterna är lika med kvadraten på hypotenusan.

Här följer ett par exempel på hur Pythagoras sats kan användas:



Exempel 1

Hur lång är hypotenusan i figurens triangel?

Enligt Pythagoras sats är:

(katet1)2 + (katet2)2 = hypotenusa2

(Katet1)2 = 32 = 9
(Katet2)2 = 52 = 25

(Katet 1)2 + (Katet 2)2 = 9 + 25 = 34

Alltå är:

Hypotenusan2 = 9 + 25 = 34
Hypotenusan = ≈ 5,8 cm




Exempel 2

Är triangeln i figuren rätvinklig?



För att triangeln ska vara rätvinklig ska följande gälla:

katet2 + katet2 = hypotenusa2
(katet 1)2 = 82 = 64
(katet 2)2 = 52 = 25

(katet 1)2 + (katet 2)2 = 64 + 25 = 89

Hypotenusan2 = 9 2 = 81

Vi ser att 81 ≠ 89.

Summan av kvadraterna på kateterna är alltså inte lika med kvadraten på hypotenusan, och därför är inte denna triangel rätvinklig.



Exempel 3

Är triangeln i figuren rätvinklig?



För att triangeln ska vara rätvinklig ska följande gälla:

katet2 + katet2 = hypotenusa2
(katet 1)2 = 62 = 36
(katet 2)2 = 8 2 = 64

(katet 1)2 + (katet 2)2 = 36 + 64 = 100

Hypotenusan2 = 102 = 100

Summan av kvadraterna på kateterna är lika med kvadraten på hypotenusan, och är denna denna triangel rätvinklig.