Åk 6–9
 
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8.6 El cuadrado de un binomio
El cuadrado del binomio está incluido dentro del grupo de los "Productos Notables", porque se puede dar la respuesta sin necesidad de efectuar la operación. Estos productos notables son varios, pero ahora sólo estudiaremos el cuadrado de la suma de un binomio.

Cuadrado de la suma de un binomio.

Estudia el siguiente ejemplo:
Como ya sabes, 10² = 100.
Si expresamos el 10 en dos sumandos, tendremos una suma al cuadrado: (3 + 7)².
A continuación buscamos la potencia:



Representamos la multiplicación con arreglos matemáticos:

3
+
7
3
+
7



Si efectuamos el producto de cada sumando, obtendremos:



3 ·3
+
2(3 · 7)
+
7 · 7
32
+
2(3 · 7)
+ 72
9
+
42
+ 49 = 100


3
· 3 + 2(3 · 7) + 7 · 7
3² + 2(3
· 7) + 7²
9 + 42 + 49 = 100

Comenzamos con 10², repartimos la base 10 en dos sumandos (7 + 3)² y llegamos al siguiente resultado: 3² + 2(3 · 7) + 7² = 100.
Si lo expresamos con un texto decimos: "El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer sumando más el doble producto de los dos sumandos, más el segundo sumando al cuadrado".



En los libros puedes encontrar la presentación de esta regla de la siguiente manera:

1. (7 + 3)² = (7 + 3)(7 + 3)

4. (7 + 3)(7 + 3) = 49 + 21 + 21 + 9

5. (7 + 3)² = 49 + 2 · 21 + 9

6. (7 + 3)² = 49 + 42 + 9 = 100



Cuadrado de una diferencia

Tenemos el siguiente ejemplo 7² = 49.
Si expresamos el 7, como una diferencia, tendremos una diferencia al cuadrado: (7 – 3)²
A continuación buscamos la potencia:



En el capítulo 4 de álgebra aprenderás a multiplicar algebraicamente.
Aquí haremos uso de ese conocimiento para multiplicar
(10 – 3)(10 – 3)

10 -3
·
10 -3
9
-30
+
100 -30
100 -60 + 9 = 49

Si escribimos el resultado parcial en potencia, tendremos lo siguiente:
100 - 60 + 9
10² - 2(10
· 3) + 3² = 49
Resumiendo: Comenzamos con 7², cuya base7 lo expresamos como una diferencia (10 – 3)², efectuamos la multiplicación de los dos factores expresados como diferencias y llegamos a lo siguiente: "El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el doble producto del minuendo por el sustraendo más el cuadrado del sustraendo".

(10 - 3)² =10 ² - 2(10 · 3) + 3² = 49



En los libros de matemática posiblemente encuentres esta regla explicada de la siguiente manera:

1. (7 - 3)² = (7 - 3)(7 - 3)



4. (7 - 3)(7 - 3) = 49 - 21 - 21 + 9

5. (7 - 3)² = 49 - 2 · 21 + 9

6. (7 - 3)² = 49 - 42 + 9 = 16

Matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

El cuadrado de una suma:

El cudrado de una diferencia: