Gymnasium
 
Svenska/عربي

3.1 Ekvationslösning

För att kunna lösa vis sa problem behövs ekvationer. En ekvation är en likhet med (minst) en obekant. Med ”obekant” menas ett tal man inte känner till, dvs. det tal man vill räkna ut. Detta tal betecknas i regel med en bokstav. Ordet ekvation kommer från latinets æquatio, vilket betyder ”göra lika”.

För att tydliggöra vad en ekvation är och hur man löser den kan vi studera nedanstående våg. Den är en s.k. balansvåg som består av två vågskålar. När innehållet i vågskålarna väger lika mycket så befinner sig vågskålarna på samma höjd. När innehållet i den ena vågskålen är tyngre så sjunker denna vågskål ned.

Från början innehåller vänster vågskål tre stycken enkilosvikter (blåa) och ett paket med okänd vikt (orange). Höger vågskål innehåller sju enkilosvikter. Det råder jämvikt, alltså väger innehållet i de två vågskålarna lika mycket. Om vi vill ta reda på paketets vikt, så kan vi börja med att antaga att paketet väger x kg. Då väger innehållet i vänster vågskål x + 3 kg. För höger vågskål är vikten 7 kg. Eftersom det råder jämvikt så kan vi sätta likhet mellan dessa två vikter.

x + 3 
=  7

Därefter tas de tre enkilosvikterna bort från vänster vågskål. Detta innebär att det inte längre råder jämvikt. Höger vågskål är tyngre. Därmed kan vi inte längre skriva en likhet.

x + 3 3  
  7
  7

 

Om vi även tar bort tre enkilostyngder från höger vågskål så borde det råda jämvikt eftersom vi tagit bort lika mycket från de båda vågskålarna.

x
= 73
x
= 4

Följaktligen väger paketet 4 kg.

Därmed har vi löst en ekvation. x = 4 är ekvationens lösning, eller rot.

Den metod vi använde var att subtrahera 3 på båda sidor, dvs. både i vänster led (VL) och i höger led (HL).

När man löser ekvationer så är det viktigt att man gör samma räkneoperation i VL och HL. Förutom att subtrahera, är det även möjligt att bl.a. addera, multiplicera och dividera med ett tal, så länge det görs i båda leden.

Vid ekvationslösning bör man ha endast ett likhetstecken per rad. Vidare är det bra att göra lite i taget, att steg för steg arbeta sig fram till en lösning. Svaret är givet när den obekanta, ofta en bokstav såsom x, står ensam på ena sidan om likhetstecknet.

Exempel: Lös ekvationen x – 25 = –62

Lösning
Kommentarer
x – 25 = –62
Ursprunglig ekvation.
x – 25 + 25 = –62 + 25
25 adderas i VL och HL.
x = –62 + 25
–25 + 25 = 0 i VL.
x = –37
HL beräknas och roten är funnen.


Exempel
: Lös ekvationen 6x = 17

Lösning
Kommentarer
6x = 17
Ursprunglig ekvation.
Division med 6 i VL och HL.
x = 17/6
6/6 = 1 i VL.
x = 17/6
Exakt svar.
x ≈ 2,833
Ungefärligt svar.


Exempel
: Lös ekvationen

Lösning
Kommentarer
Ursprunglig ekvation.
Multiplikation med 3 i VL och HL.
Att multiplicera ett bråk med en faktor är detsamma som att täljaren multipliceras med faktorn.
y = 3 ∙ 15
3/3 = 1 i VL.
y = 45
Svaret.

Exempel: Lös ekvationen 48 – 4a = 41

Lösning
Kommentarer
48 – 4a = 41
Ursprunglig ekvation.
48 – 4a + 4a = 41 + 4a
4a adderas i VL och HL.
48 = 41 + 4a
– 4a + 4a = 0 i VL.
48 – 41 = 41 + 4a – 41
41 subtraheras i VL och HL.
48 – 41 = 4a
41 – 41 = 0 i HL
7 = 4a
VL räknas ut.
Division med 4 i VL och HL.
4/4 = 1 i HL.
Likheten vänds.
Svar i bråkform.
a = 1,75
Svar i decimalform.

Exempel: Lös ekvationen 5x – 2 = 3(18 – x)

Lösning
Kommentarer
5x – 2 = 3(18 – x)
Ursprunglig ekvation.
5x – 2 = 54 – 3x
3 multipliceras in i parentesen i HL.
5x – 2 + 2 = 54 – 3x + 2
Addition med 2 i VL och HL.
5x = 54 – 3x + 2
–2 + 2 = 0 i VL.
5x = 56 – 3x
54 + 2 = 56 i HL.
5x + 3x = 56 – 3x + 3x
3x adderas i VL och HL.
5x + 3x = 56
– 3x + 3x = 0 i HL.
8x = 56
5x + 3x = 8x i VL.
Division med 8 i VL och HL.
8/8 = 1 i VL.
x = 7
HL beräknas och roten är funnen.

Fundera på och diskutera med andra:

Är detta en ekvation?
4 + 3x = 1 + 2x + 3 + x

Ta reda på:

Vad menas med att ett tal satisfierar en ekvation?

Matematik A © Stockholms stad