Åk 6–9
  • Start
  • 1. Välkommen till mönster och proportionalitet
  • 2. Figurer, uttryck och proportionalitet
  • 3. Talföljder och serier
  • 4. Reguladetri
    		•  
    3.4 Summa av talserie
    Tänk dig att du ska summera talen 1, 2, 3, 4, 5. o s v ända upp till 98, 99 och 100.

    Ett sätt är att addera talen med varandra hela vägen upp till hundra. Det kommer dock att ta lite tid. Denna uppgift fick Carl Friedrich Gauss (1777-1855) och hans klasskamrater av sin mattelärare i skolan. Det var då Carl Friedrich kom på ett sätt att förenkla beräkningen av talserien.

    Carl Friedrich löste uppgiften genom att först ställa upp talen så här:

    Om man nu lägger ihop de två tal, en från varje rad som är i samma kolumn, blir det 101 som du kan se. Hur många 101:or blir det?

    1
    +
    2
    +
    3
    +
    ... +
    98
    +
    99
    +
    100
    +
    100
    +
    99
    +
    98
    +
    ... +
    3
    +
    2
    +
    1
    101
    +
    101
    +
    101
    +
    ... +
    101
    +
    101
    +
    101

    Det kommer att bli 100 st 101:or. Eftersom vi då har adderat varje tal i följden två gånger dividerar vi med två och på så sätt får vi lösningen:

    Summan av talen 1 till 100 ger 101 · (100 ÷ 2) = 101 · 50 = 5 050

    Summan av talen 1 + 2 + 3... + 97 + 98 + 99 + 100 = 101 · 50 = 5 050

    Summan av talen 1 + 2 + 3... + 97 + 98 + 99 + 100 kan också beräknas med formeln:

    f(n) =
    n · (n + 1)
    =
    n2 + n
    2
    2

    där n är antalet element i denna talföljd.