Åk 6–9
  • Start
  • 1. Välkommen till räknesätt och räkneregler
  • 2. Addition och subtraktion
  • 3. Multiplikation och division
  • 4. Faktorisering
  • 5. Räkneuppställningar
  • 6. Potenser
  • 7. Kvadratrötter
  • 8. Matematiska regler
    		•  
    6.1 Från multiplikation till potenser

    Om basen är positiv
    Tänk dig att du ska multiplicera ett tal med sig själv ett antal gånger.

    Exempel: 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = ?

    Av praktiska skäl har man kommit på ett sätt att skriva detta på ett enklare sätt. Då använder man något som heter potenser. Potensen är alltså en produkt av lika faktorer, eller så kan man säga att det är ett sätt att skriva upprepad multiplikation på ett enklare sätt.

    Exemplet ovan skulle alltså skrivas så här: 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35 = 243

    Potensen 35 utläses ”tre upphöjt till fem”. Detta eftersom vi har multiplicerat talet 3 fem gånger med sig självt.

    23 = 8 eftersom 2 · 2 · 2 = 8. Här kallas tvåan för bas och trean för exponent.

    Vi tar ett till exempel: 7 · 7 · 7 · 7 = 74

    Om basen är negativ
    Potenser kan också uttryckas med negativa baser och negativa exponenter. Här är några exempel på potenser med negativa baser. Klarar du att lösa dem?

    (-3)2 = ?
    (-5)4 = ?
    (-2)3 = ?

    Så här gör man:
    (-3)2 = (-3) · (-3) = 9
    (-5)4 = (-5) · (-5) · (-5) · (-5) = 25 · 25 = 625
    (-2)3 = (-2) · (-2) ·(-2) = -8


    På många miniräknare finns det en potensfunktion.

    Foto: Fredrik Enander


    Om exponenten är positiv
    En exponent som är ett positivt heltal anger hur många gånger basen ska multipliceras med sig själv.

    Exempelvis betyder 24 att basen 2 ska mulipliceras med sig själv 4 gånger (2 · 2 · 2 · 2).



    Om exponenten är negativ
    Kanske vet du att 10-2 är samma sak som 0,01? Det är dock inte riktigt lika enkelt att förklara kopplingen mellan exponenten -2 och talet 0,01 i exemplet. Det kan förklaras så här:

    0,01 är samma sak som en hundradel. Om vi skriver detta som ett bråk ser det ut så här:

    0,01 =
    1

    100
    =
    1

    10 · 10
    		=
    1

    102

    Då kan vi också dra följande slutsats:
    10-2 =
    1

    102



    Vi kan också visa detta genom att använda oss av potenslagarna (se mer på sidan 6.5 Potensregler). Potenslagen för division säger att:
    ab

    ac
    		 = ab-c

    Exempel
    Utför divisionen
    74

    76
    		 .

    Om vi använder potenslagarna får vi:
    74

    76
    		 = 7-2

    Enligt definitionen av potenser är:
    74

    76
    		 =
    7 · 7 · 7 · 7

    7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7
    		=
    1

    7 · 7
    		 =
    1

    72

    Detta motiverar att
    7-2
    		 =
    1

    72
    		 .



    Exemplen ovan leder till att vi kan göra följande definition av potenser med negativ exponent:

    För alla tal a (undantaget a = 0) och för alla heltal n gäller att:
    a-n =
    1

    an