Gymnasium
 

4.5 Trigonometri

Trigonometri handlar om sambandet mellan sidor och vinklar i trianglar. Ordets ursprung kommer från grekiskans ”trigonon” (betyder ”tre vinklar”) och ”métron” (betyder ”mått”). Trigonometri har använts av människan i cirka 2000 år för bl.a. astronomi, lantmäteri, sjönavigation och, på senare år, ellära.

Tre viktiga matematiska funktioner som används för att räkna ut sidor och vinklar är sinus (förkortas ”sin”), cosinus (förkortas ”cos”) och tangens (förkortas ”tan”). På miniräknaren används knapparna

Dessa trigonometriska funktioner kan exempelvis användas för att räkna ut kvoten mellan sidor då en vinkel är känd.

Betrakta följande triangel med vinkeln v markerad, där kateterna kallas ”närliggande” (eftersom den är närmast vinkeln v) respektive ”motstående” (eftersom den är mitt emot vinkeln v):

De samband som gäller är:

sin v =

cos v =

tan v =

sin v utläses ”sinus v” eller ”sinus för v”
cos v utläses ”kosinus v” eller ”kosinus för v”
tan v utläses ”tangens v” eller ”tangens för v”

Sambanden kan även skrivas med bokstavsbeteckningar:



Kontrollera att ovanstående likheter stämmer för nedanstående triangel.

Se först till att din miniräknare är inställd på vinkelenheten ”grader”. Vanligtvis används beteckningen ”DEG” (från engelskans ”degrees”). Som du vet sedan tidigare, finns det andra vinkelenheter, exempelvis ”radianer”.

För att beräkna exempelvis sin 30° trycks i regel e.d. På vissa äldre räknare slås 30 före SIN.

När du kontrollerar triangeln så bör du få följande resultat:

sin 30° = 0,5 120/240 = 0,5
cos 30° ≈ 0,87 208/240 ≈ 0,87
tan 30° ≈ 0,58 120/208 ≈ 0,58

De trigonometriska funktionerna kan användas för att lösa olika typer av problem. Här följer ett par sådana.

Exempel: Beräkna x i nedanstående triangel.


Beräkningar

Kommentarer

cos v =

Detta samband är lämpligt att börja med eftersom det handlar om vinkelns närliggande katet och hypotenusan.

cos 37° =

De kända värdena sätts in på rätt platser i sambandet.

0,798636 =

cos 37° räknas ut som ett närmevärde.

59 · 0,798636 =

Både vänster och höger led multipliceras med 59.

59 · 0,798636 = x

I höger led återstår endast x eftersom 59/59 = 1

x ≈ 47

x räknas ut.

Dvs. x är ca. 47 mm.

Exempel: Beräkna vinkeln v i nedanstående triangel.

Beräkningar

Kommentarer

sin v =

Detta samband är lämpligt att börja med eftersom det handlar om vinkelns motstående katet och hypotenusan.

sin v =

De kända värdena sätts in på rätt platser i sambandet.

sin v = 0,585366

96/164 räknas ut som ett närmevärde.

v ≈ arcsin 0,585366
v ≈ 36

På miniräknaren används den inversa funktionen till sin, nämligen arcsin, för att räkna ut v. Tryck på tangenterna

Dvs vinkeln v är ca. 36°.

På samma sätt som i ovanstående exempel finns de inversa funktionerna arccos och arctan.

Översikt:

Funktion

Motsvarande invers funktion

Utläses

På miniräknaren

sin

arcsin

arkussinus

cos

arccos

arkuskosinus

tan

arctan

arkustangens

Ta reda på :

Hur fungerar sin, cos, tan, arcsin, arccos och arctan på din miniräknare?

Hur växlar du mellan vinkelenheterna ”grader” och ”radianer”