Åk 6–9
 
3.2 Fibonaccis talföljd
Leonardo Fibonacci levde under slutet av 1100-talet och första halvan av 1200-talet i den italienska staden Pisa. Han räknas som en av medeltidens största matematiker. Han reste omkring runt Medelhavet och kom då i kontakt med de arabiska siffrorna och positionssystemet som han spred vidare i Europa, bl a med sin bok "Liber Abaci".

Han är bland annat berömd för sin talsföljd som kallas Fibbonaccis talföljd. Den kom till efter att Fibonacci använde den för att beskriva tillväxten hos kaniner. Fibonaccitalen beskrevs dock redan under 500-talet f Kr av den indiske matematikern Pingala.

Talföljden, i vilken varje tal är summan av de två närmast föregående talen, ser ut så här:

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55…


Vi förtydligar hur man beräknar följden:


Kvadraterna i figuren har fibonaccital som sidlängd. Detta mönster hittar du även hos pärlbåtssnäckor i naturen. Fantastiskt, eller hur!

Även hos solrosor finner vi Fibonaccis talföljd. Antalet spiraler räknat motsols respektive medsols utgör i sådana strukturer två efterföljande fibonaccital t ex 13 och 21.


Foto: Britt Ask Rydgård, Multimediabyrån



Vad är det som bestämmer vad vi tycker är vackert? Är det mode, trender, traditioner eller något medfött? Det finns de som menar att vi tycker att något är vackert för att det är harmoniskt och i balans. Och att det vi tycker är harmoniskt beror på ett väldigt speciellt förhållande som återkommer både i konsten och i naturen. Det kallas för det gyllene snittet.

Gyllene snittet handlar om proportioner, om t ex förhållandet mellan sidor av en rektangel. Tänk dig svenska flaggan. Som du vet har den en längre och en kortare sida. Om man tar längden på den långa sidan och delar den med längden på den korta sidan får man talet 1,618. Talet kallas fi, F, och det är det förhållandet mellan två storheter som är det gyllene snittet.

Sambandet kan skrivas med följande formel:


...eller ungefär 8/5. Gyllene snittet var känt redan av Pythagoras och de gamla grekerna.



Ordförklaringar




Element
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 …

Här är Fibonaccis talföljd. Varje tal i talföljden kallas för element.




Förhållande
Med förhållandet mellan två tal kan även menas kvoten av talen.

Exempel:
Förhållandet mellan 15 och 5 skrivs 15:5

I ett sammanhang kan vi skriva: Antal pojkar förhåller sig till antalet flickor som 15:5. Detta betyder att "det går 15 pojkar på 5 flickor".





Mönster
Regelbunden anordning av symboler eller figurer på en yta.



Samband
Hur olika saker förhåller sig till varandra.



Talföljd
En talföljd är en följd av tal. Ofta men inte alltid kan en regel säga vilket nästa tal i talföljden ska bli. Det finns två typer av talföljder; aritmetisk talföljd och geometrisk talföljd.

Exempel: 1, 3, 5, 7, 9, ...


Serie
En serie är en matematisk följd av termer som adderas. T ex summan av elementen i en talföljd.

Exempel: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ...