2.3 Pythagoras sats och kvadratroten

I flera tusen år har människan känt till ett speciellt samband som idag kallas Pythagoras sats. Trots att satsen fått sitt namn efter den grekiska matematikern Pythagoras (verksam för ca. 2500 år sedan) så var det inte han som upptäckte sambandet, utan det var känt långt tidigare. Pythagoras anses dock ha varit den första som bevisade satsen.

Pythagoras sats handlar om rätvinkliga trianglar, dvs. trianglar med en rät vinkel (90°). I en sådan triangel kallas de sidor som möts i den räta vinkeln för kateter och den tredje sidan för hypotenusa.

Pythagoras sats kan med ord formuleras:

Med matematiska symboler skrivs Pythagoras sats:

Det är även möjligt att vända på slutsatsen:

Ett exempel på en rätvinklig triangel:

Summan av kvadraterna på kateterna är 3² + 4² = 9 + 16 = 25
Kvadraten på hypotenusan är 5² = 25
Dvs. Pythagoras sats stämmer eftersom triangeln är rätvinklig: 3² + 4² = 5²

Pythagoras sats kan användas för att ta reda på en okänd sida i en triangel. Antag exempelvis att en rätvinklig triangel har kateter vars längder är 12 mm respektive 16 mm och att du vill ta reda på hur lång hypotenusan är.

Antag att hypotenusans längd är c mm lång.

Denna likhet kan formuleras som frågeställningen ”Vilket tal, c, multiplicerat med sig självt är lika med fyra hundra?” eller ”Vilket tal, c, upphöjt med två är lika med fyra hundra?”

Genom huvudräkning kan man nå resultatet 20 mm men det finns även ett sätt att bestämma talet med hjälp av miniräknaren, nämligen genom att använda funktionen kvadratroten.

Vi skriver
Detta kan uttalas ”c är lika med kvadratroten ur fyrahundra är lika med tjugo”.

kallas rottecken.

På din miniräknare kan du använda knappen

På vissa räknare skapas en vänsterparentes automatiskt när kvadratrotsknappen trycks in och då krävs en högerparentes i slutet:

På andra miniräknare krävs inga parenteser och då kan följande tryckningar fungera:

Egentligen finns det två svar på frågan vad c är då c² = 400. Utöver 20 så kan c även vara –20, eftersom (–20) · (–20) = 400 . Man kan skriva
c = ±20 för att visa båda möjligheterna. I detta speciella fall där c är en sida i en triangel så är det negativa alternativet inte relevant. Alltså bortser man från det här.

Om resultatet av ”kvadratroten ur” inte är ett heltal så anger miniräknaren ett närmevärde. Exempelvis gäller att

Observera att det inte är möjligt att dra kvadratroten ur ett negativt tal eftersom inget tal multiplicerat med sig självt kan vara negativt (om du fortsätter läsa matematik på högre nivåer så kommer du dock så småningom att kunna dra kvadratroten ur negativa tal genom att använda s.k. komplexa tal).